Geometría III. Repetición

A menudo nos encontramos con imágenes que contienen simetrías. La simetría es la forma más sencilla de información gráfica y el cerebro la busca siempre en su intento de procesar la menor información posible, pues la simetría harmoniza el espacio.

La podemos detectar en los embaldosados del suelo, en multitud de elementos naturales, en una mariposa. En formas más complejas como un copo de nieve o incluso en los fractales.

La simetría puede originar patrones de repetición que crean harmoniosas formas algunas de las cuáles, por definición matemática, son ideales. Póngase por ejemplo un cuadrado. En realidad, muchas figuras geométricas conocidas tienen simetrías. Y la combinación de ellas puede generar otras figuras con complejas simetrías, tales como las 17 maneras de teselar un plano, llamadas grupos cristalográficos, y que aparecen excelentemente bien representados en los alicatados de la Alhambra. 

Geometría II. Objetos y sombras

En un objetivo inicial, la intención de esta entrada era el de calcular el área y volumen negros de ambas figuras, con la idea de entender que lo negro representa el vacío de unas figuras formadas por objetos tales como los que aparecen coloreados en la imagen. Pero ya que estamos, podemos calcular áreas y volúmenes de todas las figuras y quiero resaltar que con "áreas y volúmenes" me refiero a áreas de las figuras planas y áreas y volúmenes de las piezas 3D, para hacerlo más interesante.

Geometría I. Tetraedro

Hola a todos, numéricos. Esta entrada va, como bien dice, de geometría, pero no geometría general, sino geometría clásica: un teoremita de Tales por aquí, uno de Pitágoras por allá, algo de trigonometría, etc.

Pues sí, vamos a calcular unas cuantas longitudes implícitas en un tetraedro, pero antes quizá convenga explicar algunos teoremos clásicos de la geometría que usaremos, más que nada para ir haciendo memoria.

Homer casi acierta con Fermat

Se ha hablado mucho sobre las "predicciones" de la famosa serie televisiva de dibujos animados The Simpsons, donde podemos hallar imágenes un tanto desconcertantes, como la fotografía de las Torres Gemelas en llamas y un avión en dirección a ellas, visto en el capítulo 12 de la cuarta temporada, Marge vs. the monorail. Y no sólo eso sino también aparecen referencias a fenómenos extraños ya ocurridos, leyendas urbanas como el videojuego asesino Polybius, que aparece en el capítulo Please Homer, don't hammer 'em, el tercero de la decimoctava temporada, etc. etc.

2 + 2 no siempre son 4

Pues sí, y la verdad es que me encanta decirlo cuando alguien dice lo contrario. Pero mi infantil intrusión sólo es aplicable en ciertos contextos. Contextos matemáticos más bien. Quizá la filosofía (o la vida misma) lo aplica en momentos donde no nos damos cuenta.

Os estaréis preguntando de dónde saco yo esta locura. Y es a raíz de estudiar una de las ramas del álgebra, el álgebra modular, que se basa en las clases de congruencia con números enteros. Para entenderlo mejor, las operaciones con estas clases dan la vuelta en función de un número llamado módulo.

¿Cuántas vueltas da una moneda?

2525 vueltas. Éste ha sido el resultado obtenido con una moneda de 2 euros sobre una mesa. Cabe decir que el valor es aproximado porque he despreciado algunas variables que son bastante más complicadas de entender pero que, al fin y al cabo, se deben tener en cuenta en un estudio más minucioso. De todas maneras, la cantidad de vueltas depende principalmente de la fuerza de muñeca.

Para calcular su valor he utilizado unas fórmulas sencillas, que os detallaré a continuación. Vosotros mismos podréis hacer vuestros cálculos con los datos que tengáis.

Ecuaciones diofánticas

Una ecuación diofántica es un tipo de ecuación de varias variables cuyas soluciones son números enteros. Las más sencillas son del tipo $ax+by=c$, y el caso general se expresa$$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=n$$

El nombre le viene de Diofanto de Alejandría, un notabilísimo matemático griego que nació entre el 200 y el 214 d.C., aunque los expertos no se ponen de acuerdo. Lo que sí se sabe es que murió a los 84 años gracias a un famoso epitafio grabado en su tumba:

Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una sépima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada al mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobervivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.