Geometría III. Repetición

A menudo nos encontramos con imágenes que contienen simetrías. La simetría es la forma más sencilla de información gráfica y el cerebro la busca siempre en su intento de procesar la menor información posible, pues la simetría harmoniza el espacio.

La podemos detectar en los embaldosados del suelo, en multitud de elementos naturales, en una mariposa. En formas más complejas como un copo de nieve o incluso en los fractales.

La simetría puede originar patrones de repetición que crean harmoniosas formas algunas de las cuáles, por definición matemática, son ideales. Póngase por ejemplo un cuadrado. En realidad, muchas figuras geométricas conocidas tienen simetrías. Y la combinación de ellas puede generar otras figuras con complejas simetrías, tales como las 17 maneras de teselar un plano, llamadas grupos cristalográficos, y que aparecen excelentemente bien representados en los alicatados de la Alhambra. 

El ser humano ha podido construir figuras de gran belleza basadas en las repeticiones que ofrecen las simetrías, además de analizar matemáticamente sus propiedades. Y de esto la entrada de hoy. Vamos a construir y analizar la siguiente figura:

Procedemos:

1. Dibujamos un círculo de radio r.

2. En él inscribimos un dodecágono al que llamaremos polígono base.

3. Vamos uniendo vértices en saltos de 3. Nos quedarán 3 cuadrados que llamaremos cuadrados centrados. Destacamos sus vértices con puntos negros y los llamaremos vértices externos.

4. Las intersecciones exteriores de estos cuadrados, que llamaremos vértices de contacto, se señalan con puntos verdes. Los cogemos, los cuales a su vez forman un dodecágono más pequeño, y los unimos en saltos de 4, formando triángulos equiláteros. Sus intersecciones exteriores se señalan con puntos azules. Éstos los pasamos a llamar vértices internos.

5. La unión de un vértice externo, dos vértices de contacto consecutivos adyacentes al negro y el vértice interno adyacente a los verdes forman un cuadrado. El conjunto de todos ellos es la primera serie.

6. Volvemos al dodecágono principal y formamos triángulos equiláteros con sus vértices, tal y como se hace en el paso 4. Cada lado de cada triángulo coincide con dos vértices internos de la primera serie. Se señalan en verde los vértices internos.

7. Repetimos los pasos 4 y 5 y obtenemos la segunda serie de cuadrados. El dodecágono formado por los vértices externos de cada serie servirá como "dodecágono principal" para la siguiente.

De esta manera, iterando los pasos 4 y 5 con los sucesivamente podemos llegar a tener la figura del principio.

Polígono base

¿Podemos construir una pieza como ésta pero con cualquier polígono base? Podemos construirlas pero con ciertas restricciones.

Polígonos base: octógono, dodecágono y hexadecágono

En el primer ejemplo hemos usado un dodecágono como polígono base, pero en realidad podemos construir esa figura partiendo del cuadrado mismo y rotándolo sobre su centro. Pero no cualquier rotación. La imagen de arriba contiene tres ejemplos.

Una rotación de 90$^{\circ}$ del cuadrado lo deja invariante, al igual que rotaciones múltiplo de 90$^{\circ}$. Por otra parte, una rotación de $\alpha$ grados en un sentido es equivalente a una rotación de $360^{\circ}-\alpha$ grados en el sentido contrario, por lo que podemos concluir que es conveniente fijar rotaciones de entre 0$^{\circ}$ a los 90$^{\circ}$, ambos exclusive.

Pero tampoco tiene sentido rotar un cuadrado un ángulo de 22$^{\circ}$, pues si lo rotamos más veces, no tendremos nunca un cuadrado en la misma posición que el original. Es, pues, que las rotaciones deberán ser divisores de 90$^{\circ}$. Las rotaciones que corresponden a la imagen son respectivamente 45$^{\circ}$, 30$^{\circ}$ y 22,5$^{\circ}$. No voy a entrar en el debate de si 22,5 es divisor de 90.

Esta relación obliga a que los polígonos base para construir estas figuras sean necesariamente múltiplos de 4, puesto que usamos el cuadrado para dibujar. Es decir, construiremos figuras cuyos polígonos base tienen 4 (k+1) lados, siendo k un número natural.

Relación entre las series de cuadrados

¿Cuál es la relación entre un cuadrado de primera serie y uno de segunda? Es la misma que habrá entre uno de segunda y uno de tercera, pues todas las series se construyen de igual manera. La imagen de la derecha es una sección de una figura genérica que satisface las condiciones de más arriba. Ya se muestran algunos ángulos porque sea cual sea la figura siempre serán estos valores.

• l es la longitud del lado del polígono base.
• r es el radio de la circunferencia primera cuyo centro es A. Recordemos que partimos de una circunferencia con radio conocido, aunque también podemos construir la figura a partir de un cuadrado de lado conocido, pero el proceso sería más laborioso.
• El segmento $\overline{BC}$ es la diagonal del cuadrado de segunda serie, cuyo lado será c.

$\alpha$ es el ángulo entre los radios que unen el centro de la circunferencia con cada vértice del polígono base. Dado que éste tiene 4 (k+1) lados, $k\in \mathbb{N}$, entonces$$\alpha = \frac{360^{\circ}}{4 \left( k+1 \right)} = \frac{90^{\circ}}{k+1}, \; k\in \mathbb{N}.$$La suma de ángulos de cualquier cuadrilátero es 360$^{\circ}$. Además tratamos con cuadrados dispuestos según simetrías por lo que se cumple que $\overline{BD} = \overline{CD}$, $\overline{AB} = \overline{AC}$ y $\measuredangle ABD = \measuredangle ACD = 135 ^{\circ}$. Por tanto,$$360^{\circ} = 2 \cdot 135^{\circ} + \alpha + \beta\; \Rightarrow \; 90^{\circ} = \alpha + \beta$$Deducimos que $\alpha$ y $\beta$ son complementarios y entonces:$$\beta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - \frac{90^{\circ}}{k+1} = \frac{k}{k+1}90^{\circ}$$

Ahora nos fijamos en el triángulo $\triangle BCD$, también isósceles, cuya base $\overline{BC}$ corresponde a la diagonal del cuadrado de segunda serie. Como este cuadrado tiene lado c, la diagonal valdrá$$\overline{BC} = c \sqrt{2}$$Usando de nuevo el teorema del coseno y conocidos los lados b y el ángulo $\beta$, tenemos:$$2c^{2} = 2b^{2} - 2b^{2} \cos \left( \beta \right) = 2b^{2} \left( 1 - \cos \left( \beta \right) \right)$$Simplificamos la expresión, y como $\cos \left( \beta \right) = \sin \left( \alpha \right)$ por ser ambos ángulos complementarios, concluimos que la relación que guardan los lados de los cuadrados de primera y segunda es:$$\frac{c}{b} = \sqrt{1 - \sin \left( \alpha \right)}$$Así que, la relación depende únicamente del ángulo $\alpha$, el cual depende del número de lados del polígono base.

¿Y figuras con otros polígonos de serie?

Es decir, ¿triángulos, pentágonos, hexágonos, etc? En principio la imaginación permite creer que sí, pero analicemos con mayor profundidad la construcción de las figuras.

La figura con la que hemos trabajado tiene un dodecágono como polígono base y hemos unido sus vértices en saltos de 3, dando como resultado tres cuadrados que rotaban sobre su centro de gravedad. De aquí obteníamos los cuadrados de primera serie. Luego hemos unido los vértices del dodecágono en saltos de 4 obteniendo cuatro triángulos equiláteros, de donde conseguíamos los cuadrados de segunda serie. Usando los vértices externos de cada serie conseguíamos la siguiente. También usábamos los vértices internos para delimitar el área de los cuadrados de las series.

Por otra parte, cada serie se forma mediante cuadrados unidos por los vértices de contacto. Entre los vértices internos de cuadrados consecutivos hay un espacio donde formar la siguiente serie. Tal y como vemos en la siguiente imagen, ésta nos muestra que no es posible construir nuestras figuras geométricas que ofrezcan lados en lugar de vértices en los cuatro puntos necesarios para construir las series.

¿Por qué? En primer lugar, los polígonos con numero impar de vértices tienen vértice de contacto pero no vértice interno (pentágonos, heptágonos...) y, en segundo lugar, los polígonos que no tengan al cuadrado como polígono interno tienen vértice interno pero no vértice de contacto (hexágonos, decágonos...). Ello descarta todas los polígonos de serie que no tengan un número de vértices múltiplo de 4, es decir, múltiplos del cuadrado.

Otra pregunta, y la última, es si podemos construir figuras geométricas con polígonos de serie múltiplos de cuadrado (octógonos, dodecágonos, hexadecágonos...). Y no es posible. El uso de cuadrados como mínimo polígono de serie crea un espacio en blanco entre los cuadrados de sucesivas series. Este espacio tiene unos ángulos concretos en función del polígono base. Al multiplicar los vértices del cuadrado de serie, aumentamos sus ángulos internos y eliminamos los del espacio blanco hasta el punto de solaparse los polígonos de serie.

En resumen, sólo podemos construir figuras geométricas con cuadrados como polígono de serie y cualquier polígono base con 4k vértices. Con estas condiciones, podéis construir hermosas figuras.

¡Nos vemos en la siguiente entrada!