2 + 2 no siempre son 4

Pues sí, y la verdad es que me encanta decirlo cuando alguien dice lo contrario. Pero mi infantil intrusión sólo es aplicable en ciertos contextos. Contextos matemáticos más bien. Quizá la filosofía (o la vida misma) lo aplica en momentos donde no nos damos cuenta.

Os estaréis preguntando de dónde saco yo esta locura. Y es a raíz de estudiar una de las ramas del álgebra, el álgebra modular, que se basa en las clases de congruencia con números enteros. Para entenderlo mejor, las operaciones con estas clases dan la vuelta en función de un número llamado módulo.

Imaginad que tenemos el conjunto de números enteros $\mathbb{Z} = \left[ ...-2,-1,0,1,2... \right]$ y el conjunto finito $\mathbb{Z}_n = \left[0,1,2,...,n-1 \right]$. La "idea" del álgebra modular es que de un número en $\mathbb{Z}$ hallemos su "equivalente" en  $\mathbb{Z}_n$. Para ello realizamos una división cuyo resto se denomina el congruente de ese número. $n$ es el módulo y el conjunto $\mathbb{Z}_n$ es el conjunto de los restos de la división entre $n$. Dicho de otro modo, vamos dando saltos ordenados sobre los elementos del conjunto $\mathbb{Z}_n$ y el último número será el congruente de $n$.

Ejemplo: queremos hallar el congruente de 2375 en módulo 15. Efectuamos la división:$$2375 = 158 \cdot 15 + 5$$Estos datos significan:

• 2375 ha pasado 158 veces por cada número de $\mathbb{Z}_{15}$ o bien ha dado 158 vueltas al conjunto. $\mathbb{Z}_{15}$ es el conjunto de restos posibles de dividir entre 15 y es $\mathbb{Z}_{15}=\left[ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 \right]$
• El resto obtenido es 5, es decir, 2375 es congruente con 5 en módulo 15.

Nos damos cuenta que hallar el congruente de un número en cierto módulo sirve cuando ese número es mayor que el módulo. No tiene sentido hallar congruentes de números más pequeños que el módulo. 10 es 10 en módulo 15. De la misma manera que hallamos el congruente de un número, también podemos hallar el congruente de una suma de números (al fin y al cabo, una suma ofrece un resultado único, un número). Otro ejemplo: hallar el congruente de 2 + 2 en módulo 4. La congruencia de módulo 4 opera en $\mathbb{Z}_4 = \left[ 0,1,2,3 \right]$. No es necesario hallar el congruente de 2 porque 2 pertenece al conjunto ${Z}_4$. No obstante, 4 no está y hay que hallarlo:$$4 = 4 \cdot 1 + 0$$Hemos obtenido resto 0, por tanto, la suma 2 + 2 nos da 0.

He aquí mi defensa gracias a que conozco algunas nociones de álgebra modular. ¡El conocimiento es poder!