Homer casi acierta con Fermat

Se ha hablado mucho sobre las "predicciones" de la famosa serie televisiva de dibujos animados The Simpsons, donde podemos hallar imágenes un tanto desconcertantes, como la fotografía de las Torres Gemelas en llamas y un avión en dirección a ellas, visto en el capítulo 12 de la cuarta temporada, Marge vs. the monorail. Y no sólo eso sino también aparecen referencias a fenómenos extraños ya ocurridos, leyendas urbanas como el videojuego asesino Polybius, que aparece en el capítulo Please Homer, don't hammer 'em, el tercero de la decimoctava temporada, etc. etc.

Pero lo que pretendo utilizar en este post son las predicciones acerca de la ciencia. En concreto, el capítulo The Wizard of Evergreen Terrace, de la décima temporada emitida en 1998, en el cuál se ve a Homer Simpson en calidad de inventor. Este capítulo contiene una imagen que causó alto revuelo en Internet, dado que aparece Homer ante una pizarra y unas fórmulas interesantes (para quien las entienda).

La primera fórmula,$$M\left ( H^0 \right )=\pi\left ( \frac{1}{137} \right )^8 \sqrt{\frac{hc}{G}}$$ hace referencia al cálculo de la masa del bosón de Higgs. Con h siendo la constante de Planck, c la velocidad de la luz y G la constante de gravitación universal, el desarrollo de esta fórmula dio un valor de 775 GeV de masa para el bosón de Higgs. En 2012, científicos del CERN calcularon el valor real del bosón en 125 GeV, por lo que Homer casi descubre su verdadera masa.

La fórmula $\Omega\left ( t_0 \right )>1$ atañe a la densidad del universo, que al tomar un valor mayor que 1 implicaría que el universo implosionaría bajo su peso. Pero en el sótano donde Homer está trabajando ocurre una explosión y éste cambia el símbolo '$>$' a '$<$' donde entiende que el universo sigue expandiéndose.

Al final, aparece una secuencia del fraccionamiento de una rosquilla, el alimento favorito de Homer, que termina siendo una esfera. Esto hace referencia a los objetos topológicos del toroide (para la rosquilla) y la esfera, que comparten numerosas propiedades.

Pero el verdadero motivo de este post es la segunda fórmula: $3987^{12} + 4365^{12} = 4472^{12}$. Esta simple suma de potencias podría estar contradiciendo uno de los más interesantes teoremas matemáticos hasta la fecha... de ser cierta: el teorema de Fermat.

Pierre de Fermat

TEOREMA DE FERMAT

Pongámonos en antecedentes. Pierre de Fermat era un jurista nacido en Francia en el 1601. Estudió leyes con la intención de dedicarse al magisterio, pero su tiempo de ocio lo dedicaba a las matemáticas. Sin ser un matemático propiamente dicho, hizo numerosas contribuciones a muchos campos de la Matemática: cálculo diferencial, teoría de probabilidades, etc., pero es más conocido por sus incursiones en la teoría de números. De hecho él es el autor del Teorema de Fermat, un teorema que ha tenido en jaque a generaciones enteras de matemáticos.

Este teorema estipula que si n es un número natural mayor que 2, no existen x, y, z enteros positivos tales que satisfagan:$$x^n+y^n=z^n$$Acostumbrado a escribir anotaciones en los márgenes de sus libros de matemáticas, aseguró haber encontrado una demostración para este teorema, y escribió en el margen de un ejemplar de Arithmetica de Diofanto:

Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado, en suma de dos potencias de la misma clase. He descubierto una demostración maravillosa pero este margen es demasiado pequeño para contenerla.

No se sabe a ciencia cierta si Fermat encontró de verdad la demostración general del teorema puesto que era también su costumbre no escribir las demostraciones de sus hallazgos. Fermat validó el teorema para el exponente 4 pero no para el resto de casos. El teorema fue conjeturado en 1637 y no fue hasta 1995 cuando el matemático Andrew Wiles lo demostró para todos los casos posibles. Y eso que el señor Wiles buscaba demostrar la Conjetura de Shimura-Taniyama, que asocia curvas elípticas con formas modulares.

No obstante, otras mentes brillantes han intentado comprobar el teorema. En 1735, Leonhard Euler demuestra el caso $n = 3$. Más tarde, en 1825, Peter Gustave Lejeune Dirichlet y Adrien-Marie Legendre generalizan la demostración de Euler para el caso $n = 5$, basándose en los métodos de la matemática Sophie Germain para los casos en que n fuera un número primo con ciertas características. Gabriel Lamé prueba en 1839 el caso $n = 7$ pero su demostración contenía un fallo básico.

Andrew Wiles

Ernst Kummer presentó en 1843 una demostración global pero Dirichlet encontró un fallo en su desarrollo. Más adelante Kummer y otros matemáticos fueron demostrando casos particulares hasta que la investigación se estancara a pesar de haberse comprobado hasta $n = 4.000.000$. Y no fue hasta 1993 cuando Wiles publicó una demostración global, pero que contenía un error importante. Se considera su publicación corregida de 1995, en colaboración con Richard Taylor, como la demostración final, renombrando el teorema como Teorema de Fermat-Wiles. La demostración, en inglés, la podéis encontrar aquí.

HOMER Y FERMAT

Con el teorema de Fermat por delante, la fórmula $3987^{12} + 4365^{12} = 4472^{12}$ parece contradecirlo. Pero no es cierto y lo comprobamos:$$\begin{align*}
3987^{12} + 4365^{12} &= 63.976.656.349.698.612.616.236.230.953.154.487.896.987.106\\
4472^{12} &= 63.976.656.34{\color{red}{8.486.725.806.862.358.322.168.575.784.124.416}}
\end{align*}$$Podemos ver que la suma es mucho mayor que la potencia final. Esta terna de números aparece en el capítulo porque realmente$$\sqrt[12]{3987^{12} + 4365^{12}}=4472.0000000070592907,$$que redondeando es 4472. No es de extrañar que en esta serie aparezcan conceptos científicos complejos a menudo porque se sabe que contrataban a matemáticos que, en su momento, estudiaban las fórmulas que aparecen en los capítulos.

Por cierto, en el especial de Halloween de la séptima temporada, Homer se esconde en la sala de estar y descubre una biblioteca que lo traslada a la tercera dimensión. En ese momento aparece otro ejemplo que podría tumbar el teorema:

Pero de nuevo vuelve a ser falso y por los mismos motivos:$$\begin{align*}
1782^{12} + 1841^{12} &= 2.541.210.258.614.589.176.288.669.958.142.428.526.657\\
1922^{12} &= 2.541.210.25{\color{red}{9.314.801.410.819.278.649.643.651.567.616}}
\end{align*}$$ya que$$\sqrt[12]{1782^{12} + 1841^{12}}=1921.9999999558672254\approx 1922$$Así que, en conclusión, Homer puede tener picos puntuales de inteligencia, pero no está exento de errores en sus cálculos. Otra vez será, Hommy.