Geometría II. Objetos y sombras

En un objetivo inicial, la intención de esta entrada era el de calcular el área y volumen negros de ambas figuras, con la idea de entender que lo negro representa el vacío de unas figuras formadas por objetos tales como los que aparecen coloreados en la imagen. Pero ya que estamos, podemos calcular áreas y volúmenes de todas las figuras y quiero resaltar que con "áreas y volúmenes" me refiero a áreas de las figuras planas y áreas y volúmenes de las piezas 3D, para hacerlo más interesante.

Áreas del cuadrado.

Vamos con las áreas de la figura plana.

Imagen 2. Formación de la zona verde por circunferencias tangentes al centro del cuadrado..

Si nos fijamos, las áreas verdes responden a la intersección de cuatro circunferencias cuyo centro está en cada vértice del cuadrado, y son tangentes diagonalmente en el centro del cuadrado. Por la condición de tangente al centro del cuadrado, el radio de estas circunferencias será la mitad de la diagonal del cuadrado. Las áreas rojas responden a la circunferencia también centrada en el vértice del cuadrado y cuyo radio es el resto de lado que no está ocupado por el radio mayor. Llamaremos al radio mayor $r_{v}$, de radio verde, y al menor, $r_{r}$, de radio rojo.

Imagen 3. Obtenemos zonas negras por eliminación de áreas.

En la imagen se muestra el proceso de sustracción de áreas para obtener el de la sombra negra. Cogemos un cuarto de círculo verde y sustraemos su área centrada en una esquina del cuadrado. Hacemos lo mismo con la esquina diametralmente opuesta. De la figura que queda, sustraemos el área de un cuarto de círculo rojo a cada esquina y al final tenemos dos formas negras, que representa la mitad del área total negra. Matemáticamente, lo que hemos hecho es: $$A_{n}=2 \left( A_{\blacksquare} - \frac{A_{cv}}{2} - \frac{A_{cr}}{2} \right) = 2A_{\blacksquare} - A_{cv}-A_{cr}$$

Imagen 4. Conseguimos el radio verde
mediante el teorema de Pitágoras

donde$A_{n}$ es el área total negra. $A_{\blacksquare}, A_{cv}$ y $A_{cr}$ corresponden a las áreas del cuadrado, circunferencia verde y circunferencia roja, respectivamente. Recalco que son áreas de circunferencias.

Estas áreas son fácilmente calculables. El radio mayor $r_{v}$ lo obtenemos utilizando el teorema de Pitágoras. $$\begin{align*} r_{v} &= \frac{\sqrt{2}}{2}a \approx 0,71a\\ r_{r} &= a-r_{v} = a-\frac{\sqrt{2}}{2}a = \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) a \approx 0,29a \end{align*}$$

Así, las áreas correspondientes resultan: $$\begin{align*} A _{\blacksquare} &= a^{2}\\ A_{cv} &= \pi r_{v}^{2} = \pi \left( \frac{\sqrt{2}}{2}a \right)^{2} = \frac{\pi}{2} a^{2} \approx 1,57a^{2}\\ A_{cr} &= \pi r_{r}^{2} = \pi \left( \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)a \right)^{2} = \frac{3-2\sqrt{2}}{2} \pi a^{2} \approx 0,27 a^{2}\\ \\ A_{n} &= 2a^{2} - \frac{1}{2} \pi a^{2} - \frac{3-2 \sqrt{2}}{2}\pi a^{2} = \left(2-\pi \left(2-\sqrt{2} \right) \right)a^{2} \approx 0,16 a^{2} \end{align*}$$

Imagen 5. Zonas marcadas a calcular.

Ahora, conociendo esto, podemos obtener las áreas de las zonas roja y verde de la figura. El área roja, $A_{r}$, es la suma de cuatro cuartos de circunferencia roja, es decir, el área de tal circunferencia: $$A_{r} = A_{cr} = \frac{3-2\sqrt{2}}{2} \pi a^{2} \approx 0,27 a^{2}$$

Imagen 6. Eliminamos áreas para conseguir el área verde.

Tal y como se muestra en la imagen 6, podemos ir sustrayendo áreas para llegar a la delimitación verde. Partimos de dos cuartos de círculo verde, eliminamos dos cuartos de círculo rojo y después dos porciones de área negra: $$\begin{align*} A_{v} &= \frac{1}{2} \left( A_{cv} - A_{n} - A_{cr} \right) =\\  &= \frac{a^{2}}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \left(2-\pi \left(2-\sqrt{2}\right) \right) - \frac{3-2\sqrt{2}}{2} \pi \right) =\\  &= \frac{\pi -2}{2} a^{2} \approx 0,57a^{2} \end{align*}$$ Podemos verificar que los resultados son correctos porque $$A_{v} + A_{r} + A_{n} = 0,57a^{2} + 0,27a^{2} + 0,16a^{2} = a^{2}$$

Volúmenes (y áreas laterales)

Imagen 7. Cubo

Podemos obtener el volumen que ocupa la zona negra del cubo con el mismo método utilizado en el cuadrado: sustracción de volúmenes. Primeramente nos fijamos que los cuartos de círculo en el cuadrado se convierten en octavos de esfera en el cubo. Los octavos esferoidales los llamaremos esquinas. Por otra parte, la intersecciones de las esferas mayores con el cubo crean unos volúmenes, en la imagen identificados con el color verde, que llamaremos cuñas. La zona negra es el espacio no ocupado por esquinas ni cuñas. Vayamos por partes.

Imagen 8. Esquina
del cubo

El volumen de una esfera viene dado por $V_{esfera} = \frac{4}{3} \pi r^3$. Dado que una esquina es una octava parte de esfera de radio $r_{r}$ y en el cubo hay 8 esquinas, el volumen total de las esquinas rojas equivale al volumen de la esfera roja: $V_{r} = \frac{4}{3} \pi r_{r}^{3}$.
Como $r_{r}=\left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)a$, el volumen resulta $$\begin{align*} V_{r} &= \frac{4}{3} \pi r_{r}^{3} = \frac{4}{3} \pi \left[ \left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)a \right]^3 = \frac {10-7\sqrt{2}}{3} \pi a^3 \approx 0,105 a^{3} \end{align*}$$

Imagen 9. Se intersecan dos esferas del mismo radio y nos centramos en su intersección.
La cuarta parte de esta figura es la cuña.

Las cuñas precisan de un estudio un poco más minucioso. Cuando intersecamos dos esferas de igual radio (en este caso $r_{v}$) y eliminamos las porciones de esfera exteriores, nos queda un volumen en forma de platillo volante. Podemos concebir este platillo como dos casquetes esféricos de iguales dimensiones pegados por su base circular. La cuña, en verde en la imagen, corresponde a un cuarto de platillo.

Imagen 10. Cálculo de los parámetros del área y volumen de un casquete
esférico en función del lado del cubo.

El volumen del casquete esférico viene dado por $V_{casquete} = \frac{\pi}{6} h \left( 3b^2 + h^2 \right)$. Definamos h y b en función del lado del cubo. El valor h corresponde a la altura del casquete. Como vemos en la imagen, el lado a se compone de dos veces h y dos radios rojos. En resumen: $$a = 2r_{r} + 2h\\ \\h = \frac{a-2r_{r}}{2}$$ Como $r_{r} = \left( 1- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)a$, entonces $$h = \frac{a-2r_{r}}{2} = \frac{a-2 \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)a}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}a \approx 0,207a$$ El parámetro b es el radio del casquete esférico y en nuestro caso tiene un valor de $b = \frac{a}{2}$. Sabiendo todo esto podemos calcular el volumen del casquete esférico: $$\begin{align*} V_{casquete} &= \frac{\pi}{6} h \left( 3 b^2 + h^2 \right)= \\  &= \frac{\pi}{6} \left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}a\right) \left(3 \left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}a\right)^2 \right) = \\  &= \frac{\pi}{48}\left( \sqrt2-1 \right) \left( 3 + \left( \sqrt2-1 \right)^2 \right)a^3 = \\  &= \frac{4\sqrt{2}-5}{24}\pi a^3 \approx 0,086a^{3}\\ \end{align*}$$ Dado que el platillo es la conjunción de dos casquetes esféricos contrapuestos, la cuña es la cuarta parte de esta figura. Entonces: $$V_{cuña} = \frac{2 \cdot V_{casquete}}{4} = \frac{V_{casquete}}{2} = \frac{4\sqrt{2}-5}{48} \pi a^3 \approx 0,043a^{3}$$ En total tenemos 12 cuñas, que representan la totalidad del volumen verde del cubo, por tanto será $$V_{v} = 12 \cdot V_{cuña} = 12 \cdot \left( \frac{4\sqrt{2}-5}{48}\right)\pi a^3 = \frac{4\sqrt{2}-5}{4} \pi a^3 \approx 0,516a^{3}$$

Ya tenemos los volúmenes de las "piezas" que componen la imagen. Sólo hace falta restarlos al volumen total del cubo. Procedemos: $$\begin{align*} V_{sombra} &= V_{cubo} - V_{cuñas} - V_{r} = \\  &= a^3 - \frac{4\sqrt{2}-5}{4} \pi a^3 - \frac {10-7\sqrt{2}}{3} \pi a^3 = \\  &= \left(1 - \frac{4\sqrt{2}-5}{4}\pi - \frac {10-7\sqrt{2}}{3}\pi \right) a^3 = \\  &= \left(1 + \pi \left(\frac{16\sqrt{2}-25}{12}\right) \right) a^3 \approx 0.379a^3 \end{align*}$$
Ya tenemos el volumen de vacío que habría en un cubo de tales características. ¿Qué áreas superficiales ocupan estas figuras?

Imagen 11. Desglose de una esquina.

El área superficial de una esquina roja, $A_{esq\; r}$, es la suma de tres cuartos de circunferencia roja (radio $r_{r}$) más una superficie curva que corresponde a la octava parte de la superficie de una esfera roja. Una superficie esférica se calcula por $A_{esfera} = 4\pi r^{2}$. Entonces: $$\begin{align*}  A_{esq\; r} &= \frac{3}{4} \pi r_{r}^{2} + \frac{4\pi r_{r}^{2}}{8}= \frac{5}{4} \pi r_{r}^{2}=\\  &= \frac{5}{4} \pi \cdot \frac{3-2\sqrt{2}}{2} a^{2} = \frac{15-10\sqrt{2}}{8} \pi a^{2} \approx \\  &\approx 0,34 a^{2} \end{align*}$$

Imagen 12. Desglose de una cuña.

El desglose de una cuña nos muestra que se compone de dos áreas cóncavas iguales y dos áreas curvas. Las dos áreas curvas corresponden cada una a un cuarto del área curvada del casquete esférico. Ésta se calcula $A_{casquete} = 2\pi r_{v}h$ y el área curva de la cuña será $$A_{curva \; cuña} = \frac{2\pi r_{v}h}{4} = \frac{\pi r_{v}h}{2}$$ Sustituimos los valores de $r_{v}$ y $h$ y tenemos: $$A_{curva \; cuña} = \frac{1}{2}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}a \right) \left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}a \right) = \frac{2-\sqrt{2}}{8}\pi a^{2} \approx 0,23a^{2}$$

Imagen 13. Cálculo del área de una de las
caras de la cuña. La zona verde marca
la mitad de la superficie a obtener.

Las áreas cóncavas tienen un poquito más de complicación. Si analizamos la imagen, la curva que dibuja la figura cóncava es la que dibuja el radio verde desplazado un ángulo $\theta$. Esta curva acaba justo en el centro del cuadrado, lo cual nos dice que $\theta$ mide 45 grados. El área del quesito formado por el ángulo $\theta$ equivale a $$A_{quesito} = \pi r_{v}^{2} \frac{\theta}{360^{\circ}}=\pi r_{v}^{2} \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}= \frac{\pi}{8} r_{v}^{2}$$ Y con $r_{v}^{2} = \frac{a^{2}}{2}$ tendremos: $$A_{quesito} = \frac{\pi}{8}\frac{a^{2}}{2} = \frac{\pi}{16}a^{2} \approx 0,20 a^{2}$$ Podemos expresar este área en suma de dos áreas: el área del triángulo rectángulo isósceles de la izquierda mas el área de la pieza curva de la derecha. Restando el área del triángulo al total tendremos el de la pieza: $$A_{pieza} = A_{quesito} - A_{\triangle} = \frac{\pi}{16}a^{2} - \frac{1}{8}a^{2} = \frac{\pi-2}{16}a^{2} \approx 0,07a^{2}$$ Esta pieza es la mitad de la figura cóncava, y la cuña tiene dos figuras cóncavas, entonces equivaldrá a 4 piezas. Finalmente, el área de la cuña será: $$\begin{align*} A_{cuña} &= 2A_{curva\; cuña} + 4A_{pieza} =\\  &= 2\cdot \frac{2-\sqrt{2}}{8}\pi a^{2}+4\cdot\frac{\pi-2}{16}a^{2} =\\  &= \frac{\left( 3-\sqrt{2} \right)\pi-2}{4}\: a^{2} \approx\\ &\approx 0,75a^{2} \end{align*}$$ El área verde que ocupan todas las cuñas se obtiene mediante $$A_{v} = 12\cdot \frac{\left( 3-\sqrt{2} \right)\pi-2}{4}\: a^{2} =\left(\left(9-3\sqrt{2} \right)\pi-6 \right)a^{2} \approx 8,95a^{2}$$ Y ya por último calcularemos el área superficial de la sombra negra, que me ha resultado demasiado compleja para dibujarla vectorialmente. Para empezar, nos fijamos que esta figura se compone enteramente de superficies curvas, las que corresponden a las superficies curvas de las esquinas y las cuñas. El cubo se compone de 8 esquinas y 12 cuñas que contienen dos superficies curvas cada cuña (24 superficies). El área curva de las esquinas es la octava parte de la esfera roja de radio $r_{r} = \left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right) a$, y las 8 esquinas cubren el área total de la esfera roja. Entonces: $$\begin{align*} A_{n} &= 4\pi \left[\left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)a\right]^{2}+24\left(\frac{2-\sqrt{2}}{8}\pi a^{2} \right) =\\  &=\left( 6-4\sqrt{2} \right)\pi a^{2}+\left( 6-3\sqrt{2} \right)\pi a^{2} =\\  &= \left( 12-7\sqrt{2} \right)\pi a^{2} \approx\\  &\approx 6,6a^{2} \end{align*}$$ Presentamos una tabla adyacente que contiene todos los cálculos obtenidos, siendo a el lado de ambas figuras. Dados los radios $$r_{r} = \left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2}a \right) \approx 0,29a \;\;\;\;\;\; r_{v} = \frac{\sqrt{2}}{2}a \approx 0,71a,$$ las proporciones obtenidas son: $$\begin{matrix}  & \textrm{Cuadrado} & & \textrm{Cubo}\\ \\ A_{r} & \frac{3-2\sqrt{2}}{2}\pi a^{2} \approx 0,27a^{2} & & \frac{15-10\sqrt{2}}{8}\pi a^{2} \approx 0,34a^{2}\\ \\ A_{v} & \frac{\pi-2}{2}\pi a^{2} \approx 0,57a^{2} & & \left(\left(9-3\sqrt{2} \right)\pi-6 \right)a^{2} \approx 8,95a^{2}\\ \\ A_{n} & \left(2-\pi\left(2-\sqrt{2} \right)\right)a^{2} \approx 0,16a^{2} & & \left(12-7\sqrt{2} \right)\pi a^{2} \approx 6,6a^{2}\\ \\ V_{r} & & & \frac{10-7\sqrt{2}}{3}\pi a^{3} \approx 0,105a^{3}\\ \\ V_{v} & & & \frac{4\sqrt{2}-5}{4}\pi a^{3} \approx 0,516a^{3}\\ \\ V_{n} & & & \left(1+ \frac{16\sqrt{2}-25}{12}\pi \right)a^{3} \approx 0,379a^{3} \end{matrix}$$