2525 vueltas. Éste ha sido el resultado obtenido con una moneda de 2 euros sobre una mesa. Cabe decir que el valor es aproximado porque he despreciado algunas variables que son bastante más complicadas de entender pero que, al fin y al cabo, se deben tener en cuenta en un estudio más minucioso. De todas maneras, la cantidad de vueltas depende principalmente de la fuerza de muñeca.
Para calcular su valor he utilizado unas fórmulas sencillas, que os detallaré a continuación. Vosotros mismos podréis hacer vuestros cálculos con los datos que tengáis.
Antes hay que puntualizar unos cuantos detalles:
Para calcular su valor he utilizado unas fórmulas sencillas, que os detallaré a continuación. Vosotros mismos podréis hacer vuestros cálculos con los datos que tengáis.
Antes hay que puntualizar unos cuantos detalles:
La masa (m) de un objeto es lo que pesa realmente cuando no está sujeto a ninguna atracción gravitatoria. Nosotros pesamos lo que indica una báscula bien calibrada en la Tierra, pero estas cifras se ven afectadas por la gravedad de la misma, definiendo el peso como:$$p = m \cdot g$$donde:
p es el peso en la Tierra,
m es la masa del objeto,
g es la aceleración de la gravedad en la Tierra, cuyo valor medio es $9,8163 \frac{m}{s^{2}}$
La moneda pesa $8,50$ g $= 8,5 \cdot 10^{-3}$ kg. Aplicar estos datos en la fórmula nos da:
$$\begin{align*}
p &= m \cdot g \\
m &= \frac{p}{g} = \frac{8,5 \cdot 10^{-3}}{9,8163} = 8,659 \cdot 10^{-4} \: \textrm{kg}
\end{align*}$$
MCUA
Lo primero que observamos es que la moneda está rodando y pierde velocidad, es decir, describe un movimiento circular uniformemente acelerado o MCUA. Recordemos que ese movimiento se describe de esta manera:$$\varphi = \varphi_0 + \omega_0 \left( t-t_0 \right) + \frac{1}{2}\alpha \left( t-t_0 \right)^2$$donde:
$\varphi$ es el espacio angular, el número de vueltas que da el objeto. Se expresa en radianes ($\textrm{rad}$).
$\omega$ es la velocidad angular (la velocidad de giro) medida en $\frac{\textrm{rad}}{\textrm{s}}$. $\omega_0$ indica la velocidad inicial y $\omega_f$ la final.
$\alpha$ es la aceleración angular medida en $\frac {\textrm{rad}}{\textrm{s}^2}$. Se calcula $\frac{\omega_f-\omega_0}{t-t_0}$. $t_0$ es tiempo inicial y $t$ tiempo final.
Aún así, hay que hacer unos ajustes. Sabemos que:
- $v= \omega \cdot r \Rightarrow \omega = \frac{v}{r}$.
- $r$ es el radio de la moneda.
- $\omega_f = 0$ porque es la velocidad de la moneda al parar. Por tanto $\omega = \omega_0$.
- $\varphi_0 = 0$ porque es el número de vueltas que llevamos desde el principio.
- $t_0 = 0$ porque es el instante inicial de giro.
Con esto,$$\alpha = \frac{\omega_f-\omega_0}{t-t_0} = \frac{0-\omega_0}{t-0} = - \frac{\omega_0}{t}$$
Si substituimos en la fórmula del MCUA, obtenemos:
$$\begin{align*}
\varphi &= \varphi_0+\omega_0\left(t-t_0\right)+\frac{1}{2}\alpha\left(t-t_0\right )^2\\
&= 0 + \omega_0\left(t-0\right)+\frac{1}{2}\left(- \frac{\omega_0}{t} \right)\left(t-0\right )^2\\
&= \omega_0t - \frac{1}{2}\left(\frac{\omega_0}{t} \right)t^2\\
&= \omega_0t - \frac{1}{2}\omega_0t\\
&= \frac{1}{2}\omega_0t\\
&= \frac{vt}{2r}
\end{align*}$$
FUERZAS
Bueno, aquí viene la parte más complicada del asunto. Como una fuerza es un vector (tiene módulo, dirección y sentido) habrá fuerzas que tengan un valor negativo respecto al sistema de referencia. Aplicar una fuerza en un objeto produce una reacción contraria y opuesta a esa fuerza, y como mínimo, en el objeto actúan dos fuerzas. Una fuerza va en función de la masa del objeto y de la aceleración que contiene. Esto es:$$F = m \cdot a$$Y la aceleración es la variación de la velocidad en el tiempo. En el caso de un objeto girando sobre un eje, la aceleración se compone de dos tipos: normal y tangencial. La moneda gira a raíz de una fuerza denominada cinética y viene dada por la aceleración normal, cuya fórmula es:$$a_n = \omega^2r = \frac{v^2}{r}$$.
La imagen muestra un punto verde que tiene una rotación. La aceleración se descompone en la aceleración normal $\left( a_{n} \right)$, que es la componente de la aceleración cuya dirección va al centro de la curvatura. Esta aceleración es la que desvía la dirección de la aceleración tangencial. Ésta, $a_{t}$, es perpendicular a la aceleración normal y la que contiene la dirección inicial de empuje.
Entonces, conociendo la fuerza aplicada y la masa de la moneda, podemos conocer la velocidad lineal que contiene:$$\begin{align*}
F &= m \cdot a = m \cdot \frac{v^{2}}{r}\\
v &= \sqrt {\frac{F \cdot r}{m}}
\end{align*}$$
Una de ellas es el propio peso del objeto, que se ejerce por la atracción gravitatoria de la Tierra sobre el objeto. Otra es la fuerza normal (N) y se produce como reacción contraria a la fuerza peso. Cuando estas dos fuerzas tienen el mismo valor, el objeto está en reposo respecto de la vertical, es decir, $N=p=mg$.
Después pueden existir otras fuerzas que en consecuencia pueden hacer mover el objeto o mantenerlo en estado de equilibrio. Y ésto sólo puede decirlo la fuerza resultante del sistema, es decir, la suma de todas las fuerzas que se aplican al objeto. Lo curioso es que en una moneda se aplica lo que se denomina un par de fuerzas, que es un sistema formado por dos fuerzas paralelas, de la misma intensidad y de sentido contrario una de otra, aplicadas a un sólido rígido; en este caso nuestros dedos aplicarían esas fuerzas paralelas. El par de fuerzas produce una rotación caracterizada por el momento del par de fuerzas M (el momento de una fuerza es la eficacia de la fuerza que produce una rotación) y éste se localiza justo en el centro de la recta que separa las dos fuerzas aplicadas.
En esta imagen, el caso teórico representa el momento de fuerzas ideal con dos fuerzas de igual valor aplicadas en el diámetro y paralelamente a la horizontal. Esta exactitud permitirá que la moneda gire sobre la base sin caer. Sin embargo, el caso práctico tiene dos fuerzas diferentes con una inclinación sobre la horizontal, donde el momento de fuerzas también se inclina. En esta ocasión, la moneda dará vueltas de traslación.
La moneda se irá parando porque hay una fuerza de rozamiento que va frenando las fuerzas aplicadas. La fuerza de rozamiento $\left( F_r \right)$ es una fuerza que aparece en la superficie de contacto de los cuerpos, oponiéndose a su movimiento. Yo he hecho girar la moneda en una mesa, así que la fuerza de rozamiento aparecerá cuando el canto de la moneda gire sobre su superficie. Hay dos tipos de rozamiento y el que nos interesa es el producido por un cuerpo en movimiento. Su valor viene dado por $F_r=\mu _d N$, donde $\mu _d$ es el coeficiente de rozamiento dinámico y $N$ es la fuerza normal aplicada a la moneda. El valor de este coeficiente depende de la naturaleza y del estado de las superficies en contacto. Por Internet podéis encontrar listas de coeficientes para diferentes materiales.
Para finalizar, la moneda "caerá" sobre una cara cuando la inclinación de la moneda supere cierto grado, y es porque la fuerza centrípeta de la moneda sufre una disminución en función de su aceleración. Mientras $a_n > g$, la moneda girará a lo loco. A medida que se $a_n$ tienda a $g$ veremos que el eje de la moneda se irá distanciando de la vertical: estamos ante un fenómeno de precesión de la moneda. Una vez que $a_n < g$, caerá y rodará sobre los bordes de las caras planas. Aquí veremos cara o cruz rotando.
Pero no acaban aquí los cálculos. Hay que tener en cuenta otras fuerzas como la producida por el aire. Esta fuerza aparece en forma de rozamiento del aire en la superficie del canto de la moneda y va en función de múltiples factores como la viscosidad del aire, la densidad, presión atmosférica, etc. Como tal ha de calcularse en la fuerza resultante como una fuerza contraria al movimiento angular de la moneda. El sistema queda así:$$F_{t} = F_{g}-F_{m}-F_{a}$$Donde $F_{t}$ es la fuerza total,
F_{m} &= \mu _d N = \\
&= \mu _d p = \\
&= 0,2 \cdot \left( 8,5 \cdot 10^{-3} \right) = \\
&= 1,7 \cdot 10^{-3} = 0,0017 \: \textrm{N}
\end{align*}$$Esta fuerza es prácticamente despreciable porque la moneda tiene una masa muy pequeña y el coeficiente de rozamiento ofrece una resistencia débil.
$C$ es el coeficiente de arrastre del aire. Es un valor adimensional.
$\rho$ es la densidad del aire. Calcularla tiene también su intríngulis, así que cogeré el valor que me calcula esta web.
$A$ es el área de sección transversal del objeto por el que fluye el aire. El caso de una moneda girando dibuja una esfera en cuya superficie fluye el aire. La sección transversal de una esfera es una circunferencia y su área viene dada por $A= \pi r^{2}$, siendo $r$ el radio de la moneda.
$v_{a}$ es la velocidad del aire. En este caso, el aire realmente no se mueve sino que es la rotación de la moneda la que hace aparecer un flujo alrededor de la superficie, así que podemos considerar la velocidad de la moneda como la velocidad del aire en sentido contrario. Calculamos la velocidad que tendría la moneda con una fuerza constante de 50 newtons:$$\begin{align*}
v &= \sqrt {\frac{F \cdot r}{m}} =\\
&= \sqrt{\frac{50 \cdot 1,2875 \cdot 10^{-2}}{8,659 \cdot 10^{-4}}}=\\
&= 27,266 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}
\end{align*}$$
Entonces tenemos:$$\begin{align*}
F_{a} &= \frac{1}{2}C \rho A {v_{a}}^{2} = \frac{1}{2}C \rho \pi r^{2} {v_{a}}^{2} = \\
&= \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot 1,2108 \cdot \pi \cdot 0,012875^{2} \cdot 27,266^{2} =\\
&= 0,117 \: N
\end{align*}$$La fuerza real que actúa sobre la moneda es:$$F_{t} = F_{g}-F_{m}-F_{a} = 50-0,0017-0,117 = 49,8813 \: N$$ Es un valor muy aproximado a la fuerza inicial
RESOLUCIÓN
Radio de la moneda $(r_{m})$: 12,875 mm = 0,012875 m.
Peso de la moneda $(p)$: 8,50 g = 0,0085 kg.
Gravedad $(g)$: 9,8163 $\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}$
Rozamiento de la mesa $(\mu)$: 0,2
Tiempo de giro $(t)$: 15 s
$$\varphi = \frac {vt}{2r} = \frac {27,234 \cdot 15}{2 \cdot 0,012875} = 15864,466\: \textrm{rad}\\
15864,466 \: \textrm{rad} \cdot \frac{1\: \textrm{vuelta}}{2\pi\: \textrm{rad}}= 2524,91 \approx 2525 \: \textrm{vueltas}$$
Y aquí tenemos el resultado: unas 2525 vueltas ha dado la moneda en esas características
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