La multiplicación maya

Muy buenas a todos. Como veréis en sucesivos posts, divagando por Internet voy encontrando cosas curiosas, cosas chulas, cosas aburridas, cosas... En fin, cosas varias, y entre ellas hay una de las formas más curiosas de multiplicar. Se llama método Tzeltal, o para los cristianos, la multiplicación maya, y tal como dice su nombre, es un sistema que utilizaba esta civilización para multiplicar cantidades. Os pongo un ejemplo explicado.

Nuestra necesidad es multiplicar dos cantidades cualesquiera, por lo que empezaremos por algo facilito: 12 · 13. A partir de aquí comienza el procedimiento maya:

Cogemos el primer número (12), separamos sus dígitos (1 y 2) y dibujamos tantas líneas horizontales como indican los dígitos.

Ahora hacemos lo mismo con el segundo número, pero dibujando líneas verticales que intersequen con las horizontales:

Entonces, contamos todos los puntos que tenemos en cada grupo de intersecciones.

Sumamos las cantidades en forma diagonal. Si de cada resultado obtenemos un número superior a 9, cogemos la cifra de las decenas y la sumamos al resultado de la izquierda.

El resultado final es coger los números que nos han salido de izquierda a derecha. En este caso vemos que el resultado es 156, tal y como podemos comprobar con nuestro típico sistema de multiplicación: $$12\cdot 13=156$$ Sorprendente, ¿verdad? Os pongo otro ejemplo: 33 · 27.

Nos sale 891, igual que al multiplicar de la manera "occidental". Pero, ¿por qué el resultado es correcto si este sistema no se asemeja en nada a lo que conocemos? Esto es porque cuando multiplican en diagonal, cada diagonal representa una potencia de 10, cuanto más a la izquierda mayor es la potencia. Cogiendo el primer ejemplo, veréis cómo funciona:

El resultado final lo consiguen de esta manera: $$1\cdot 100+5 \cdot 10+ 6 \cdot 1=100+50+6=156$$ En el caso de $33 \cdot 27$, los resultados que obtuvimos fueron 6, 27 y 21. Aplicando la misma regla  tenemos: $$6\cdot 100+27 \cdot 10+ 21 \cdot 1=600+270+21=891$$ Sólo que para ahorrarse estas operaciones, simplemente sumaban a cada resultado las cifras que "sobraban" de los de su derecha, tal como vemos más arriba. Expresado matemáticamente sería: $$600+270+21=
\\ = 600 + \left( 200+70 \right) + \left( 20+1 \right)=
\\ = \left( 600+200 \right) + \left( 70+20 \right) + 1 =
\\ = 800+90+1=891$$Además, subyace en esta operación una propiedad de los números que ya nos explicaron cuando éramos más pequeños, allá cuando el álgebra nos comenzaba a tocar las narices en la E.S.O. Estoy hablando de la propiedad distributiva. Para recordarla brevemente, es la que decía: $$a\cdot \left ( m+n \right )=am+an$$ Su forma más extendida nos dice que: $$\left( a+b \right ) \cdot \left ( m+n \right )=am+an+bm+bn$$ Aplicarla a nuestras multiplicaciones, vendría a desarrollarse de esta manera: $$12 \cdot 13=
\\ = \left(10+2 \right ) \cdot \left (10+3 \right ) =
\\ = \left(1 \cdot 10+2 \right ) \cdot \left (1 \cdot 10+3 \right ) =
\\ = 1 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 2  \cdot 10 + 2 \cdot 3 =
\\ = 1 \cdot 100 + \left ( 3+2 \right )\cdot 10 + 2 \cdot 3 =
\\ = 100 + 50 + 6 =
\\ = 156$$ Si os fijáis en la línea $1 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 2  \cdot 10 + 2 \cdot 3$, ésta corresponde a los conjuntos de puntos de cada cruce. Es decir, $1 \cdot 100$ es la esquina superior izquierda, $3 \cdot 10$ es la esquina superior derecha, $2  \cdot 10$ esquina inferior izquierda y $2 \cdot 3$ es la inferior derecha. De ahí que sumen en diagonal.

Bueno, ¿qué ocurre cuando uno de esos números tiene un 0? Pues el procedimiento es el mismo, no se modifica nada, excepto en la línea dibujada. Pongamos un ejemplo: $20 \cdot 45$. Nuestra experiencia nos dictaría un procedimiento más rápido, haríamos $$20 \cdot 45 = \left (2 \cdot 10 \right) \cdot 45 = \left (2 \cdot 45 \right) \cdot 10 = 90 \cdot 10 = 900$$Con el método Tzeltal, la línea del 0 se dibujaría de otra manera:

Más difícil todavía, multiplicar números de 3 cifras: $356 \cdot 527$. ¿Cómo se realiza? De igual manera:

Ya veis que el procedimiento es sencillo. Este método se vuelve algo tedioso cuando las cifras son elevadas. Probad de multiplicar $47827 \cdot 84234$ y la cosa ya no es tan divertida. Si os aparece el caso de multiplicar 3 números o más, lo que hay que hacer es ir multiplicando dos a dos. De todas maneras, aquí tenéis una explicación animada en flash bastante clara sobre el método Tzeltal. Os recomiendo que os deis un paseo.

Bueno, hasta aquí el post de hoy. Agur!

PD: por cierto, 47827 · 84234 da 4028659518. Intentadlo si queréis ^^.